Suojaavien Eksoottisesta Fx Optiot

FX Exotic Options Perusteiden tarkastelu Perusteet Valuuttamääräisen riskin osatekijät: eteenpäin, swapit ja vaniljat vaihtoehdot FX optiot markkinat: kuka tekee mitä ja miksi Ohjelmistoratkaisut: mikä myyjä tarjoaa mitä - Fenics, SuperDerivatives, Bloomberg, Volmaster. Murex, ICY, Reuters Black-Scholes - mallin hinnoittelu ja suojaus Black-Scholes Merton - malli FX: ssä Puhelu - ja myyntioperaation arvon johtaminen Yksityiskohtainen keskustelu kaavasta Kreikat: delta, gamma, theta, rho, vega, vanna, volga, homogeenisuus ja suhteet kreikkalaisten Vanilla-vaihtoehtojen välillä Put-call-pariteetti, put-call-symmetria, ulkomaisen kotim symmetrian FX-, ATM - ja delta-kongresseja koskevat noteeraukset Päivämäärät: kaupankäyntipäivä, palkkio maksupäivä, käsitellä prosessointia, vastapuoliriskiä Eksoottiset ominaisuudet: lykkäysuoritus, epäsuora maksu, lykätty toimitus, käteissuoritus, amerikkalaiset ja bermudan harjoittajat oikeudet, rajat ja kiinnitykset Markkinatiedot: hinnat, välityspisteet, vaihtokohdat, levyt Workshop: Tutustu hintoihin ohjelmistot ja markkinahinnat Volatiliteetti Epäsuora vs. historiallinen Hinnasto deltasina Volatiliteetti-kartiot Volatiliteetti hymy: termi-rakenne, vinoutuminen, riskin muutokset ja perhoset Volatiliteetti lähteet Interp volatiliteetti ja ekstrapolointi volatiliteetti hymy pinta: SABR, vanna-volga, Reiswich-Wystup Eteenpäin volatiliteetti Workshop: rakentaa oma interpolointityökalu volatiliteetti hymy, laskea kreikkalaiset suhteen deltat, suojauksen volatiliteettiriskin johtaa lakko delta hymyillä Vanilla-vaihtoehtojen strukturointi Riskinvaihto ja osallistuminen eteenpäin Levitteet ja lokit Straddles, strangles, butterflies, condors Digitaaliset vaihtoehdot Workshop: Rakenna oma lokki. Sisällytä myyntimarginaali. Ratkaise nollakustannuksille. Laske delta - ja vega-suojaus. Keskustele tarjouspyynnön levittämisestä. Analysoi hymyn vaikutusta Strukturointi ja Vanna-Volga-hinnoittelu Ensimmäisen sukupolven eksotiikka: Tuotteet, hinnoittelu ja suojaus Digitaaliset vaihtoehdot: eurooppalainen ja amerikkalainen tyyli, yksi - ja kaksinkertainen este Barrier-vaihtoehdot: yksi ja kaksinkertainen, koputus ja knock-out, KIKOs, eksoottinen este vaihtoehtoja Yhdistelmä ja erä Aasian vaihtoehdot: geometristen, aritmeettisten ja harmonisten keskiarvojen valinnat Teho, takaisku, valitsija, palkkamies Workshop: Suojaa knock-out, jolla on riskienhallinta. Rakenna oma semi-staattinen suojaustyökalu, keskustele tulevaisuuden volatiliteettiriskistä Sovellukset rakenteessa Dual valuuttamääräiset ja muut valuuttatalletukset Talletetut rahastot: hait eteenpäin, bonus eteenpäin, valuutanvaihtopalkkiot FX-sidotut koronvaihtosopimukset ja rajat ylittävät swapit Exotic spot and eteenpäin suuntautuvat kaupat Workshop: Rakenteelliset harjoitukset: rakentaa rakenteet, ratkaista nollakustannukset, hymyn säätö, bid-ask levyt Vanna-Volga hinnoittelu Kuinka korkeammat johdannaiset vaikuttavat hintaan Vanna-volga hinnoittelu lähestymistapa Tapaustutkimus: yhden kosketuksen, yhden kosketuksen viikset Keskustelu mallin riski ja vaihtoehdot: stokastinen volatiliteetti Workshop: hinnoittelun hinnoittelun hinnoittelu Yleiskatsaus markkinamalliin Stohastinen volatiliteettimallit Heston 93: mallin ominaisuudet, kalibroinnit, hinnoittelu, edut ja haitat Paikallinen volatiliteetti: ominaisuudet, edut ja haitat Stokastinen paikallinen volatiliteetti Hybridimallit Super - Rakennusvaihtoehtojen soveltaminen: vipuvaikutusrajoitukset ja ensimmäisen kertaluvun lähentäminen - esteen muutos. Sekoitus superreplikaatio ja vanna-volga Toisen sukupolven eksotiikka, hinnoittelu ja suojausongelmat Barrier - ja kosketusasetusten sukutaulu Workshop ja keskustelu: Miten rakentaa barrier - ja kosketusvaihtoehtojen universumia tärkeimmistä rakennuspalikoista: vanilja ja yhden kosketuksen. Jäljelle jäävät riskit ja rajoitukset. Staattiset, puolisattiset ja dynaamiset suojausmallit Single Currency Exotics Standard Barrierin ja kosketusasetusten ulkopuolella Exotic features (vanilla) - vaihtoehdot: lykkäysuoritus, ehdollinen maksu, myöhästynyt toimitus, käteismaksu, amerikkalaiset ja bermuda-harjoituksen oikeudet, rajat ja kiinnikkeet Eksoottiset esteet ja kosketusasetukset Faderit, käytävät, kerättävät eteenpäin, tavoite lunastuslähetykset (TRF) Eteenpäin käynnistysvaihtoehdot, korotukset Aika-asetukset Varianssi ja volatiliteettisopimukset Workshop: Rakenna ja hinnoitella oma kertymäsi eteenpäin. Hymyn säätö. Simulointityökalu TRF-laitteille. Keskustelu TRF-suojauksesta Multi-Currency Exotics Tuote-esittely sovellusten kanssa: vaihtoehtojen, korejen, leviämisten, parhaimpien, ulkopuolisten esteiden korrelaatio: epäsuorat korrelaatiot, korrelaatioriski ja suojaus, valuuttakolmio ja tetrahedra Hinnoittelu Black-Scholes - mallissa: analyyttinen, binominen puut ja Monte Carlo Workshop: Hinnoittelu ja korrelaatio, joka suojaa kahden valuutan best-of: laskea omat herkkyytesi ja hedge vega ja korrelaatioriski Pitkäaikainen valuuttaoptioasetukset (maksaa yleensä puhujalla) Basis Spreads - tuotevalikoiman kehitys FX-sidottu joukkovelkakirjat, pitkän aikavälin vaniljat ja PRDCs Mallinnusmenetelmät Riskiominaisuuksien ja mallinnusvaatimusten keskustelu Pidä minut ajan tasalla kurssista sähköpostitseExotic Options and Hybrids: Opas jäsentämiseen, hinnoitteluun ja kaupankäyntiin Viimeaikainen finanssikriisi tuonut esiin lukuisia väärinkäsityksiä ja väärinkäytöksiä eksoottisista johdannaisista. Kun markkinatoimijat ostavat ja myyvät osapuolet ovat syyllistyneet siitä, että he eivät ymmärrä tuotteita, joita he käsittelivät, ei ole koskaan ennen tarvittu selkeyttämistä ja selitystä. Eksoottiset optiot ja hybridit ovat käytännöllinen opas jäsentämiseen, hinnoitteluun ja suojaamiseen monimutkaisten eksoottisten vaihtoehtojen ja hybridijohdannaisten avulla, jotka palvelevat lukijoita äskettäisen kriisin, elpymisen, seuraavan sonnien markkinoiden ja sen ulkopuolella. Kokeneiden harjoittajien kirjoittama se keskittyy johtamisajan kolmeen pääosaan: tuotteen rakenteeseen, sen hinnoitteluun ja sen suojaukseen. Kirja jakautuu neljään osaan, ja se kattaa monenlaisia ​​rakenteita, jotka kattavat monet ajanmukaisimmat ja lupaavat tuotteet eksoottisista osakejohdannaisista ja strukturoiduista muistiinpanoista hybridijohdannaisiin ja dynaamisiin strategioihin. Yrityksen ytimestä realistisen asettelun pohjalta, johdannaiskaupassa käytännön ja intuitiivisten keskustelujen ansiosta nämä eksoottiset käsitteet ovat todella saatavilla. Todellisten kauppojen hyväksymistä tutkitaan yksityiskohtaisesti, ja kaikki lukuisat esimerkit valitaan huolella, jotta voidaan korostaa liiketoiminnan mielenkiintoisia ja merkittäviä näkökohtia. Palkkarakenteiden käyttöönottoon liittyy skenaarioanalyysi, kaaviot ja elinkelpoiset näytearkit. Lukijat oppivat havaitsemaan, mihin riskeihin kuuluu keinona luoda tällaisten tuotteiden arvostus ja suojaus. Tekstissä on myös kysymyksiä ja niihin liittyviä keskusteluja, joista jokainen on hyödynnetty havainnollistaa yhtä tai useampaa käsitystä niiden kontekstista. Eri mallien sovellukset, vahvuudet ja rajoitukset korostuvat tuotteisiin ja niiden riskeihin nähden pikemminkin kuin mallin toteutusten sijasta. Mallit hajotetaan erikseen omistetuilla osuuksilla, mutta niiden vaikutukset viitataan koko kirjaan intuitiivisella ja ei-matemaattisella tavalla. Keskustelemalla eksoottisista vaihtoehdoista ja hybrideistä käytännöllisessä, ei-matemaattisessa ja erittäin intuitiivisessa ympäristössä tämä kirja räjähtää eksoottisten johdannaisten väärinkäsitysten kautta, jolloin ammattilaiset voivat täysin ymmärtää ja rakentaa oikein, hinnoitella ja suojata tuotteita tehokkaasti. vain luokka sen luokassa tehdä nämä 8220exotic8221 käsitteet todella saatavilla. Luettelo symboleista ja lyhenteistä. OSA I PERUSTEET. 1 perusmittaria. 1.2 Korkotasot. 1.3 Osakkeet ja valuutat. 2 Strukturoitujen tuotteiden maailma. 2.1 Tuotteet. 2.2 Myyntisivut. 2.3 Osta sivu. 2.5 Esimerkki Equity Linked Huomautus. 3 Vanilla-vaihtoehtoa. 3.1 Optioiden yleiset ominaisuudet. 3.2 Call and Put Option - ennustukset. 3.3 Asettaa pariteetti - ja synteettiset vaihtoehdot. 3.4 Black8211Scholes-mallin oletukset. 3.5 Euroopan houkutusvaihtoehdon hinnoittelu. 3.6 Eurooppalaisen vaihtoehdon hinnoittelu. 3.7 Suojauksen kustannukset. 3.8 American Options. 3.9 Aasian vaihtoehdot. 3.10 Esimerkki rakennejärjestelystä. 4 Volatiliteetti, epäsymmetria ja termirakenne. 4.2 Volatiliteettipinta. 4.3 Volatiliteettimallit. 5 Vaihtoehtoiset herkkyydet: kreikkalaiset. 5.6 Kreikkalaisten väliset suhteet. 5.7 Volga ja Vanna. 5.8 Multi-asset-herkkyydet. 5.9 Black8211Scholesin ja kreikkalaisten ulottuvuudet. 6 strategiavaihtoehtoja. 6.1 Perinteiset suojausstrategiat. 6.2 Pystysuuntaiset levitteet. 6.3 Muut levitteet. 6.4 Lisävarusteen yhdistäminen. 6.5 Arbitraatti Implied Volatility Surface - vapauden vapaus. 7.1 Usean omaisuuden asetukset. 7.2 Korrelaatio: mittaukset ja tulkinta. 7.3 Koriasetukset. 7.4 Määräasetusvaihtoehdot: Quantos. 7.5 Kaupankorotus. II OSA EXOTIIKÄSERÄT JA RAKENNETUT TUOTTEET. 8.1 Dispersio ja tulkinnat. 8.2 Huonoimmat asetukset. 8.3 Parhaat vaihtoehdot. 9 Dispersion Options. 9.1 Rainbow Options. 9.2 Henkilökohtaisesti leikattu koripuhelu (ICBC). 9.3 Suoritusvaihtoehdot. 9.4 Volatiliteettimallit. 10 Barrier Options. 10.1 Barrier Option - palkkaus. 10.2 Black8211Scholes Arvostus. 10.3 Suojaus Down-ja-in sijoittaa. 10.4 Strukturoiduissa tuotteissa olevat esteet. 11.1 Euroopan digitaaliset digitaalit. 11.2 American Digitals. 11.3 Riskianalyysi. 11.4 Strukturoitujen tuotteiden sisällyttäminen eurooppalaisiin digitaalisiin laitteisiin. 11.5 Strukturoituja tuotteita, joihin sisältyy amerikkalaisia ​​digitaaleja. 11.6 Suorituskyky Digital. 12 Autocallable Structures. 12.1 Yksittäiset varokekokoomat. 12.2 Autokelpoinen osallistumisilmoitus. 12.3 Autocallables with Down-and-in Puts. 12.4 Usean omaisuuden autovalmisteet. III OSA ENEMMÄN ULKOMAISISSA RAKENTEESSA. 13 Cliquet-perhe. 13.1 Lähtöasetukset eteenpäin. 13.2 Cliftit, joissa on paikalliset lattiat ja lippikset. 13.4 Käänteiset leikkaukset. 14 Lisää leikekuvia ja niihin liittyviä rakenteita. 14.1 Muut pelaajat. 14.2 Multi-asset Cliquets. 14.4 Hakuasetukset. 15 vuoristovaihtoehtoa. 15.4 Kilimanjaro Select. 15.6 Hinnoittelu Vuoristoalueiden tuotteet. 16 Volatiliteettijohdannaiset. 16.1 Volatiliteettijohdannaisten tarve. 16.2 Kaupankäynnin volatiliteetin perinteiset menetelmät. 16.3 Variaation vaihto. 16.4 Variaation vaihtojen vaihtelut. 16.5 Käytettävissä olevat varianssit. 16.6 VIX: Volatiliteettiindeksit. 16.7 Varianssidispersio. IV OSA HYBRIDJOHDANNAISET JA DYNAAMISET STRATEGIAT. 17 Omaisuusluokat (I). 17.1 Korot. 18 Omaisuusluokat (II). 18.1 Valuuttamarkkinat. 19 Hybridijohdannaisten rakenne. 19.2 Tuotannon tehostaminen. 19.3 Usean omaisuusluokan näkymät. 19.4 Usean omaisuuserän riskienhallinta. 20 Hinnoittelu Hybridijohdannaiset. 20.1 Lisävarallisuusluokan mallit. 21 dynaamisia strategioita ja aihekohtaisia ​​indeksejä. 21.1 Salkunhallinnan käsitteet. 21.2 Dynaamiset strategiat. 21.3 Temaattiset tuotteet. A.2 Paikalliset volatiliteettimallit. A.3 Stokastinen volatiliteetti. A.5 Hull8211White-korkomalli ja laajennukset. B.1 Vanilla-hintojen ja kreikkalaisten lähentäminen. B.2 Ostoskorihinta. B.3 ICBCCBC Epätasa-arvo. B.4 Digitaaliset: Vega ja eteenpäin asema. MOHAMED BOUZOUBAA on kokenut harjoittelija johdannaisten maailmassa, ja tällä hetkellä hän on Derivatives Tradingin ja Strukturoinnin päällikkö CDG Capitalissa. Hänen ammattitaitonsa ulottuu eksoottisten vaihtoehtojen ja hybridien aihepiiriin Pariisissa Pariisin Soci233t233 G233n233rale - yhtiössä, joka on riski - ja rahastonhoitoasiantuntija Sophissa, joka on erikoistunut pääoma-, luotto - ja korkojohdannaisiin liittyviin riskeihin. Johdannaissuunnittelijana Bear StearnsJP: n Morgan Chase - yhtiössä Lontoossa ja Equity Structured Products Managerissa First Gulf Bankissa Dubaissa. Mohamedilla on maisterintutkinto rahoitustekniikan ja sovelletun matematiikan maisteriksi. ADEL OSSEIRAN on matemaatikko kouluttamalla. Hänen työnsä taloudellisena toimijana johdannaisen hinnoittelussa sisältää edustustoimintoja kvantitatiivisena analyytikkona ja johdannaisena Lontoossa. Hän opiskeli matematiikkaa Oxfordin yliopistossa ja PhD-tason talousmatematiikassa Imperial College Lontoossa. Osta molemmat ja tallenna 25 eksoottisia vaihtoehtoja ja hybridit: Opas jäsentämiseen, hinnoitteluun ja kaupankäyntiin (pound66.99 euro83.80) Listan koko hinta: pound107.98 euro135.10 Alennettu hinta: pound80.98 euro101.32 (Säästä: pound27. 00 euro33.78) Ei voida yhdistää muihin tarjouksiin. Lisätietoja. PETER CARR, KATRINA ELLIS ja VISHAL GUPTA Tässä artikkelissa kehitetään staattisia suojauksia useille eksoottisille vaihtoehdoille käyttämällä vakiovarusteita. Menetelmä perustuu eurooppalaisten laitosten ja puhelujen välisiin suhteisiin, joilla on erilaiset lakko-hinnat. Analyysi mahdollistaa jatkuvan, haihtuvuuden tai haihtuvuuden hymyn tai haurastumisen. THISPAPER yleistää Batesin (1988) mukaisen suhteen eurooppalaisten laitosten ja puhelujen välillä eri lakkoilla. Käsittelemme yleistettyä tulosta put-call-symmetriaa (PCS) ja käytämme sitä menetelmän määrittämiseksi ja tiettyjen eksoottisten vaihtoehtojen staattiselle suojaukselle. Keskitymme polkuihin perustuvista vaihtoehdoista, jotka muuttavat ominaisuuk - sia yhdellä tai useammalla kriittisellä hintatasolla, esimerkiksi este - ja takavaihtoehdot ja niiden laajennukset. Emme tutki amerikkalaisia ​​orhsian vaihtoehtoja. Vaikka näitä vaihtoehtoja voidaan arvostaa ja ne voidaan dynaamisesti suojata logaritmiseksi, tarjoamme arvostusta ja staattista suojausta hieman yleisempiin diffuusioasetuksiin. Kuten Bowie ja Carr (1994) sekä Derman, Ergener ja Kani (1994), luomme staattisia salkkuja vakiovaihtoehdoista, joiden arvot vastaavat polulle riippuvan vaihtoehdon maksuaikaa vanhentamalla ja rajojen yli. Koska polut riippuvat vaihtoehdoista, joita tutkelemme usein, on suuri, staattinen suojaus vakiovaihtoehtojen avulla on huomattavasti helpompaa ja halvempaa kuin dynaaminen suojaus. Lisäksi, vastoin dynaamista suojausta, staattiset positiot vakiovaihtoehdoissa ovat invariantteja volatiliteetille, korkoille ja osinkoille, ohittaen niiden arvioimisen tarpeen. 2 Koska Carr on Morgan Stanleyn Equity Derivatives Research - yrityksen VP. Ellis on jatko-opiskelija Johnsonin Graduate School of Management - yksikössä Cornell Universityssä. Gupta on Goldman Sachsilla, tämä työ valmistui, kun hän oli MBA-opiskelija Johnsonin Graduate School of Managementissa, Cornell Universityssä. Olemme kiitollisia Warren Baileyille, Hal Biermannelle, Sergio Bienshalle, Phelim Boyleille, Linda Caninalle, Melanie Caoille, Narat Charupatille, Neil Chrisille, Emanuel Dermanille, Zhenyu Duanmuille, Larry Harrisille, Eric Jacquierille, Robert Jarrowille, Iraj Kaniille , Antoine Kotze, James Kuczmarski, Robert Merton, Alan Shapiro ja erityisesti Jonathan Bowie heidän kommenteistaan. Haluamme myös kiittää osallistujia Fields-instituutin ja Riski-konferensseissa volatiliteetista, osakejohdannaisista ja eksoottisista vaihtoehdoista. Lopuksi kiitämme Cornellin yliopiston rahoittajat, Goldman Sachs, Harvardin yliopisto, J. Morgan, Morgan Stanley, Nations Bank, Salomon Brothers ja Etelä-Kalifornian yliopisto. Tunnistamme myös Cem Inalin erinomaisen tutkimusavun. He eivät ole vastuussa virheistä. Esimerkiksi estevaihtoehdot arvostetaan Black-Scholes (1973) - mallissa Mertonissa (1.973). Oletamme kuitenkin tiettyä struktuuria hintaprosessista saavuttaaksemme nämä invarianssitulokset. Erityisesti oletamme, että kohde-etuuden siirtokustannukset ovat nolla ja että sen volatiliteetti täyttää symmetrian rajoituksen. tarkastelemamme polkuihin perustuvat vaihtoehdot ovat usein hyvin herkkiä volatiliteetille, suojaavan virheen, joka johtuu volatiliteetin virheellisyydestä, voi olla merkittävä dynaamisen suojauksen kanssa. PCS-suhteemme voidaan katsoa sekä laajennukseksi että laajalti tunnetun put-call-pariteetin (PCP) tulokseksi. Yleistyminen edellyttää, että laittomien ja puhelun lakkojen erottuminen tietyllä tavalla on mahdollista. Riittävät rajoitukset tämän tuloksen saavuttamiseksi ovat lähinnä se, että taustalla olevalla hintaprosessilla on sekä nollatulppa että symmetrinen volatiliteetti, joka kuvataan jäljempänä. Loput paperista on järjestetty seuraavasti. Osa I esittää PCS: n takana olevat ajatukset ja intuitio, joka on suojausstrategian perusta. Osa I1 tarkastelee yksittäisten esteiden vaihtoehtojen staattista toistoa. Osa I11 keskittyy eksoottisiin vaihtoehtoihin, joissa on useita esteitä, kuten kaksoispoisto, rullaus, räikkä ja takaisinkytkentävaihtoehdot. Luvussa IV rentoudutetaan oletusarvoa nollasta ja tarjoamme tiukkoja sidoksia aiemmissa osissa kehitettyihin staattisiin suojauksiin. Pääluokka V tekee paperin ja liite sisältää matemaattiset yksityiskohdat, jotka tukevat tuloksia. I. Put-Call-symmetria Tässä paperissa oletetaan, että markkinat ovat kitkattomia eikä arbitraasi mahdollisuuksia ole. Olkoon P (K) ja C (K) eurooppalaisen putin ja soiton ajankohta 0, molemmilla K: lla ja T: ssä erääntyneillä vaihtoehdoilla. Koska maturiteetti on sama kaikille instrumenteille, tukahduttamme riippuvuuden ajasta kypsyyteen helpottamaan merkitsemistä. Let B tarkoittaa pelkän alennushintatarjouksen ajankohtaa 0, joka maksaa yhden dollarin T: ssä. Tällöin Put-Call Parity ilmaistuna aikavälillä F aikavälillä T toimitus on PCP tarkoittaa, että jos yhteinen lakko lait ja puhelun on nykyiset termiinit, vaihtoehdoilla on sama arvo. Koska put-arvojen nousu kasvaa lakkoilla ja puhelun arvot pienenevät, voimme kirjoittaa epätasa-arvoja eurooppalaisille laitoksille ja puheluille, joiden lakot ovat eteenpäin samalle puolelle. Sitä vastoin PCS on tasa-arvo skaalattujen paikkojen ja puhelujen välillä, joiden lakot ovat eteenpäin vastakkaisilla puolilla. PCS: n hankkimiseksi asetetaan tiettyjä rajoituksia stokastiselle prosessille, joka ohjaa kohde-etuutena olevan omaisuuden hintaa. Erityisesti oletamme, että taustalla oleva hinnoitteluprosessi on diffuusio, jossa nollatulppa joudutaan tekemään minkään riski-neutraalina mitattaessa ja jossa volatiliteettikerroin täyttää tietyn symmetriatilan. Siten suljemme pois hyppyjä hintaprosessissa ja oletamme, että prosessi alkaa uudelleen missä tahansa pysäytysajassa, kuten ensimmäisellä kulkuajalla esteeseen. Nolla riskisidonnaisen ajovirran oletus on ärsyttävä OP1: lle, ionien, jotka on kirjoitettu kohde-etuuden valuutta - tai futuurihintaan. Opt, paikan päällä tehdyistä ioneista oletetaan aiheuttavan nollakuljetuskustannuksia.3 Näin ollen ei-ajoverkkojen rajoittaminen merkitsee sitä, että spot-hintoihin kirjoitetut optiot toimivat ikään kuin ne olisi kirjoitettu termiinihintaan. Neljännestä poikkeamasta oletetaan olevan poikkileikkaukseltaan IV jaksossa ja saamme tiukkoja rajoja optioiden arvosta, joiden takaisinmaksut riippuvat spot-hintatiestä. Tässä paperissa oletetaan, että termiinin volatiliteetti on tunnetuin funktio Ft (t), joka on termiinikohtainen hinta Ft ja aika t. Oletetaan myös seuraava symmetriaehto: a (Ft, t) a (F2Ft, t), kun kaikki Ft 2 0 ja t E O, T, (2) missä F on nykyinen termiinihinta. Siten minkä tahansa tulevaisuuden päivämäärän volatiliteetin oletetaan olevan sama kaikilla kahdella tasolla, joiden geometrinen keskiarvo on nykyinen eteenpäin. Tämä symmetriaehto täyttyy Musta (1976) - mallissa, jossa haihtuvuus on deterministinen, eli (Ft, t) a (t). Symmetria syntyy, kun tilavuus kuvataan Xt - ln: n (FtF) funktiona. Vastuksen v (X, t) a (Ft, t) vastaava ehto on: Näin symmetrinen ehto täyttyy myös malleissa, joilla on symmetrinen hymy4 KF: n lokissa. Tämän seurauksena KF: n volatiliteetin kaavio on epäsymmetrinen, jolloin suurempi volatiliteetti on suurempi kuin puhelun volatiliteetilta eteenpäin tasavertaisten iskujen. Lopuksi symmetriatila mahdollistaa myös haihtuvuuden haurastumisen tai jopa monimutkaisempien kuvioiden. Edellä esitetyt olettamukset huomioon ottaen Append-ix osoittaa, että: (hen kitkattomia markkinoita, ei arbitraasia, nollakulkua ja symmetriatilaa, on seuraava suhde: jossa puhelun isku K: n ja put-iskujen H geometrinen keskiarvo on termiinihinta F: Yksittäisen osakekannan tai osakeindeksin osalta vaihtoehtojen mukaan ei-drift-oletus merkitsee sitä, että osinkotuotto on aina yhtä suuri kuin riskittömän koron. Vaihtoehtojen spot-valuuttamarkkinoilla option no drift-oletus merkitsee sitä, että ulkomaiset korko on aina sama kuin kotimarkkinakorko, kun oletetaan, että hinnankorotus on riskittömän koron. Oletetaan, että oletettu hymy on paikallinen volatiliteetti, toisin kuin Black (1976) - malli, joka on hiljainen Bates (1988) osoittaa ensin tämän tuloksen jatkuvaksi haihtuvuudeksi, katso Bates (1991) erinomaisesta käsityksestä epäsymmetrian vaikutusten selvittämiseksi crash premia. st rike 16 on yhtä kuin 4 laitetta, jonka lakko 9 on lähtöhinta 12. Tarkastellaan PCS-tuloksen numeerista havainnollista: Kun nykyinen eteenpäin on 12, 16: llä soitetulla puhelulla on sama arvo kuin 9: lle. Tämä esimerkki on esitetty kuviossa 1. Syynä siihen, että puhelulla on paljon suurempi arvo, vaikka se on edelleen rahaton aritmeettisesti, on se, että diffuusiomenetelmämme on suurempi absoluuttinen volatiliteettikylläiset hinnat ovat korkeita kuin hinnat ovat alhaiset. Koska puhelu - ja maksupyyntö määräytyy terminaalin hinnan ja lakkojen aritmeettisella etäisyydellä, suurempi absoluuttinen volatiliteetti korkeammilla hinnoilla johtaa korkeampiin puhelumääriin. Yksi intuitiota PCS: lle syntyy yleistää seuraavan intuition put-call-pariteetille. Kuvittele kaavakuva terminaalin hintojen laskemisesta neutraalisti, ja oleta, että vaaka-akseli asetetaan kiilaan, jonka avulla pyritään löytämään tukipiste. Tukipistettä löytyy tasapainottamalla tiheyden ja etäisyyden raja-arvojen välistä kiilaa. Toisin sanoen tukipiste tapahtuu odotetulla arvolla riski-neutraalijakauman alla, joka on nykyinen termiinihinta. Tiheyden ja etäisyyden summa kiipeeltä tukipisteen oikealla puolella antaa eurooppalaiselle puhelulle (etukäteen) hinnankorotuksen eteenpäin. Samalla tavoin summataan tiheyden tuote ja absoluuttinen etäisyys tukipisteen vasemmalla puolella olevasta kiilusta eteen - ja taaksepäin suuntautuvalle eurooppalaiselle laitokselle. Koska vaihtoehtojen9 termiinihinnat ovat samat, niiden spot-hinnat vaikuttavat myös yksinkertaisiin kustannussäästöihin. PCS-tulos (yhtälö (4)) merkitsee sitä, että nykyiseen eteenpäin kaksinkertaisella puheluilla on kaksi kertaa polkumyynnin arvo puolet nykyisestä eteenpäin. Absoluuttinen volatiliteetti määritellään hinnanmuutosten keskihajonnoksi, ts. Std (dF). Sitä vastoin tavanomainen volatiliteetti määritellään suhteellisten hinnanmuutosten keskihajonnaksi, ts. Std (dF1F). Jos haluat laajentaa edellä mainittua tasapainottavaa intuitiota näihin quotwingerquot-vaihtoehtoihin, kuvittelemme nyt, että vaaka-akseli on sijoitettu kahteen kiilaan, joista toinen on puolet nykyisestä eteenpäin hinnasta ja toinen kahdella nykyisellä termiinillä. Tällöin summattu tuote, jonka tiheys ja etäisyys on yli kahdesti eteenpäin, antaa laulun kutsun (eteenpäin) arvon. Samoin summattu tuote, jonka tiheys ja absoluuttinen etäisyys on alle puolet eteenpäin, antaa laiturin asetetun (eteenpäin) arvon. Jos kiilojen välinen tiheys poistetaan, akseli kääntyy oikealle puolelle, koska puhelu on arvokkaampaa kuin putki. Kuitenkin kaksinkertaistaminen tiheyden puoliväliin vasemmalle puolelle palauttaa tasapainon. Toisin sanoen kahdella tällaisella asetuksella on sama arvo kuin yhdellä puhelulla. 11. Yksittäiset estovaihtoehdot Tässä osiossa edustetaan polkuihin perustuvia vaihtoehtoja, joilla on yksi este7 polkuuntumattomista vakiovaihtoehdoista. Avain tämän tuloksen aikaansaamiseksi on put-call-symmetria, jonka oletetaan pysyvän, kun taustalla oleva ensimmäinen saavuttaa este-hinnan. Siten volatiliteetin symmetria-akseli on este-hinta. Ilman menestystä yleensä keskitymme arvostamiseen ja suojaamiseen knock-out puhelut. Tällaiset puhelut käyttäytyvät tavallisilta puheluilta, paitsi että ne on kerrottu ensimmäistä kertaa, kun taustalla olevat osumaa ennalta määrätyn esteen. Sitä vastoin koputus puheluista tulee tavallisia puheluita, kun este estetään ja muuten vanhenee arvoton. Knock-out - puhelujen arvostustuloksesta ja suojausstrategiasta voidaan saada vastaavia kutsujen kopiointituloksia käyttämällä seuraavaa pariteettisuhdetta8: missä IC (K, H) (OC (K, H)) on puhelun aikana ( ulos-soittopyyntö) iskun K ja esteen HA Down-and-out - puhelut Määritelmällä isku - ja uloskäynti - (DOC), jossa on iskusarja K ja este H lt K, tulee arvottomaksi, jos H iskee milloin tahansa sen elinaikana. Jos raja ei ole kärsinyt vanhentumispäivästä, päätepiste on K-kaltaisen vakiopuhelun taso. Jotta alas-ja-ulos - puhelu voidaan suojata, meidän on vastattava päätepistettä ja rahamäärää pitkin rajaa. Suojan rakentamisen ensimmäinen vaihe on siis päätepisteen sovittaminen, joka tehdään hankkimalla standardipuhelu, C (K). Tarkastellaan nyt vaihtoehtoisia arvoja esteen yläpuolella. Kun F H, DOC on arvoton, kun taas nykyinen suojaus C (K) on positiivinen. Siten keskitymme soittovaihtoehtoihin, jättäen samalla tavalla tuloksia kuin lukijalle. Tämä tulos ei kata amerikkalaisia ​​vaihtoehtoja. Katso Chriss (1996) selkeästä keskustelusta. Aika (vuotta) 95 Hinta Aika (vuotta) 95 Hinta Aika (vuotta) 95 Hinta Kuva 2. Staattinen suojaus alaspäin ja ulos (K 400, N 95). Paneeli A näyttää eurooppalaisen puhelun arvon 100: een, kun osakekurssit vaihtelevat 95: stä 105: een ja eräpäiviin asti vuoteen. Akseli, joka on merkitty Ajan mukaan, merkitsee aikaa kypsyyteen. Paneelissa B näkyy 1,0526 laitetta, jotka ovat iskeytyneet 90,25: een. Huomaa, että kaaviot ovat identtiset 95: n esteen yli. Paneelissa C näkyy kahden ensimmäisen kaavion välinen ero, mikä osoittaa, että replikointiportfolioarvo nousee esteen yli. tarvitsee myydä instrumentin, jolla on sama arvo kuin eurooppalaisella puhelulla, kun termiinihinta on esteenä. Käyttämällä PCS: ää, kun 4quot H, saadaanquot Siksi meidän täytyy kirjoittaa KHpl European puts iski H2Kp1 täyttää suojaus. Tällöin DOC: n täydellinen kopiointisalkku on ostopäätösstrategia vakiovaihtoehdoissa, jotka ostetaan vaihtoehdon aloittamisessa. Jos este estetään ennen sen päättymistä, kopioitava salkku olisi selvitettävä PCS: llä, joka takaa, että tuotto soittavan puhelun myyntiä tasoittaa täsmälleen kustannukset, jotka aiheutuvat ostojen takaisinmaksusta. Jos estettä ei osu ennen päättymistä, niin pitkä puhelu antaa halutun päätelaitteen maksun ja kirjalliset laitokset loppuvat arvottomina, kun H2K-I lt H, kun H lt K. Kuva 2 kuvaa alas-ja-ulos kutsun replikaatiota lakko K 100, este H 95 ja alkuperäinen maturiteetti yhden vuoden. Paneeli A on a. Vaadittu laukaisu on K, H2K-I, yhtälöstä (5) ja korvaamalla tämä yhtälöllä (4) antaa tuloksen. standardi puhelu samassa lakossa ja maturiteetti kuin down-and-out. Esteen F 95 kautta puhelu on positiivinen. Paneeli B on Kf4-I 1,0526 laittaa iski H2K-I: n 90,25: een. Huomaa, että niiden arvo, joka asetetaan esteeseen F 95, vastaa tavallisen puhelun arvoa. Kun paneeli B on leikattu paneelista A, tuloksena on paneeli C. Paneelissa C näkyy, että repli - stenttisalkussa on nolla-arvo rajoilla F 95 ja tavanomaisen puhelun loppumaksu, joka on saavuttanut 100: n kuluttua. B. Up-and-Out-puheluissa Up-and-Out-puhelun (UOC) ylätunnisteen yläraja ylittää nykyisen hinnan. Kun este on lakko (H: I) tai sen alapuolella, UOC on arvoton, koska se poistetaan aina, ennen kuin se voi saada positiivisen voiton. Täten meidän on tarkasteltava vain lakkoja (H: gt K), mikä tarkoittaa, että UOC: lla on luontainen arvo ennen kuin se kaatuu. Jälleen kerran replikointisalkkuamme aloitetaan K: n eurooppalaisella kutsuilla, sillä se vastaa meidän maksuaikaa. Jotta saataisiin nolla arvoa esteelle H, voisimme myydä HHK1: llä iskenyt KHPL-putket, mutta tämä antaisi meille ongelmia loppuun, jos estettä ei ole lyöty. Sen sijaan UOC: n kopiointisalkku käyttää yhtälöitä (6) ja (1) arvopapereilla: UOC (K, H) C (K) - UIP (K, H) - (H-K) UIB H), E-6 gt. K, F, (8), jossa määritelmällä ylös-ja-sisään-sidos UIB (H) maksaa 1 loppuun, jos este H on osunut ennen. Jos haluat nähdä, että salkku vastaa UOC: n palkkioita, harkitse UOC: n voittoa, jos este ei ole koskaan koskenut - vaadittu maksutaso on K.: n tasoittavan puhelun tasolle. put ja bonds päättyy arvoton, kun taas standardi puhelu tarjoaa halutun payoff. Toisaalta, ensimmäisellä kulkusuoralla esteeseen nouseva ja ulospäinen koputus katkeaa samalla tavoin kuin ylös - ja taakkatelineet ja joukkovelkakirjat koputtavat. Koska termiinihinta on H: ssä, put-call-pariteetti tarkoittaa sitä, että kopioitava salkku voidaan selvittää nollakustannuksin. Up-and-in-asema, joka on iskenyt K: ssä esteen H kanssa, vastasi sulkukerroksen C (K) aikaresursseja ja (H-K) up-ja-in-joukkolainat vastaavat sen sisäistä arvoa. Etu up-and-out-puhelun esittämisestä nousevien ja sisääntulevien putkien ja sidosten suhteen on se, että yhtälö (8) pätee mihin tahansa jatkuvaan prosessiin taustalla olevalle hinnalle. Haittapuoli on se, että arvopaperit, joita ei ole saatavissa, eivät saa käydä kaupankäyntiä tai kaupankäynnin kohteena. Voimme soveltaa PCS: tä osoittamaan, että UIP (K, H) voidaan toistaa HH-I: llä iskeytetyillä KH-I-puheluilla. Liite osoittaa, että UIB (61) voidaan kopioida ostamalla kaksi binääripuhelua (BC), joka osuu H: llä ja Hpl: llä H: llä soitetuilla eurooppalaisilla puheluilla. Määritelmän mukaan binääripuhelu maksaa 1, kun lopullinen päättely on H: n yläpuolella. UIB: n replikaation intuitio on se, että kun taulukon Z vertikaalisten hajautusten konvergenssi binääripuheluun Tämä taulukko laskee pystysuoran leviämisarvon (VS) arvon parametrilla n, jossa n on puhelujen leviämisen määrä ja sen vastavuoroisuus leviämisen välillä. C on eurooppalainen puhelu. Koska n kasvaa, pystysuuntainen leviäminen konvertoidaan binääripuhelun (BC) kanssa lakolla 105 analyyttisellä arvolla 0,292384. eteenpäin on este, jokainen binääripuhelu arvostetaan suunnilleen todennäköisyydellä viimeistelystä rahaa. Jos tämä todennäköisyys oli täsmälleen 0,5, niin kahta binaarista puhelua yksin riittää. Korkomarginaalin positiivinen vinoutuminen merkitsee sitä, että todennäköisyydet ovat hieman alle 0,5, mikä merkitsee vähäistä korjausta puheluilla kuten yhtälössä (9). Uudelleenkelmän yhtälö (8) standardi - ja binääripuheluissa tarkoittaa: Tiedetään hyvin, että binääripuhelut voidaan syntetisoida käyttäen ääretöntä lukumäärää tavallisten puheluiden pystysuuntaisia ​​leviä 10 BC (H) lim nC (H) - C (H npl ). (11) Tämän seurauksena ylös-ja-ulos-puhelu voidaan toistaa vain vakiopuhelun avulla. On selvää, että binääripuhelun kopiointistrategia yhtälössä (11) on epäkäytännöllistä. Tämän korjaamiseksi käytämme menetelmää, jota kutsutaan nimellä Richardson-ekstrapolointi, jota on aikaisemmin käytetty optiohinnoittelussa (katso esim. Geske ja Johnson (1984)). Koska parametrilla indeksoitu likiarvojen joukko (esim. Askelmäkoko), Richardson-ekstrapolaatio on tekniikka arvailemaan arvoa, kun parametri on infinitesimaalinen. Havainnollistamme lähestymistapaa binääripuheluihin seuraavalla esimerkillä FX-optioille, jotka olettavat jatkuvan korkotason ja volatiliteetin. Oletetaan, että F S 100, K 105, r r, 4, o-20 ja T 0,25 vuotta. Tällöin binäärikutsun täsmällinen musta (1976) malliarvo on 0.292384. Määritä VS (n) n vertikaalisen puhelun leviämisen arvoina, joihin liittyy lakkoja 105 ja 105 nl, n 1,2,3. Taulukossa I käytetään uudelleen Black-mallin mallia VS (n): n konvergenssin nopeuden oikeaan arvoon. See Chriss and Ong (1995) for a discussion of this result. 105 105 Time (yrs) 95 Price Time (y rs) 95 Price Time (yrs) 95 Price Time (yrs) 95 Price Figure 3. Static hedge for an up-and-out call (K 100, H 105).Panel A shows a European call struck at 100. Panel B shows five up-and-in bonds with strike 105, which pay 1 each at expiration if the barrier 105 has been hit by then. Panel C shows 0.9524 call struck at 110.25. The total hedge is shown in Panel D, which has been scaled up. While the vertical spread values are slowly converging, five-decimal-place accuracy can be obtained by using the following three-point Richardson extrapolationll: Thus the value of a binary call is well approximated12 by the following sim - ple portfolio of standard calls: Figure 3 shows the value of the components of the static hedge for an up-and-out call with strike K 100, barrier H 105, and initial maturity of one year. The standard call struck at 100 shown in Panel A has both intrinsic and time value along the barrier (1105). Panel B is the H - K 5 up-and-in bonds, which match the intrinsic value of the call along the bar - rier. Panel C is of KH-39 0.9524 calls struck at H2K-39 110.25. which match the time value of the call along the barrier. When Panels B and C are subtracted from Panel A, the result is shown in Panel D, indicating zero value along the barrier and the call payoff at maturity. l1 See Marchuk and Shaidurov (1983), p. 24, for a derivation of Richardson weights. l2The approximation deteriorates near expiration when prices are near the strike. III. Multiple Barrier Options In this section, we discuss complex barrier options involving multiple bar - riers. lU1though more complex specifications are possible, we simply as - sume that the volatility of the underlying is henceforth a deterministic function of time, as in Black39s (1976) model i. e. a(F, t) a(t) for all F gt Q and t E A. Double Knockout Calls Consider a call option that has two barriers,14 so that the call knocks out if either barrier is hit. We assume that the initial forward price and strike are both between the two barriers. There is a parity relation between this double knock-out call (02C) and a double knock in call (12C), which knocks in if either barrier is hit: where K is the strike, L is the lower barrier, and H is the higher barrier. We will again focus on replicating the payoffs of a double knock out call using static portfolios of standard options. On its surface, a double knock out call 02C(K, L,H) appears to be a com - bination of a DOC(K, L) and an UOC(K, H). The payoff of the 02C(K, L, H) is zero if either barrier is hit and the standard call payoff at expiry if neither barrier is hit. A portfolio of a call knocking out at the lower barrier and a call knocking out at the higher barrier would give these payoffs, so long as the knock out of one option also knocked out the other. This additional specifi - cation is necessary as otherwise the surviving option contributes value at the other39s barrier. To construct the replicating portfolio for the 02C(K, L,H), we begin as before by purchasing a standard call C(M) to provide the desired payoff at expiry. We will then attempt to zero out the value at each barrier separately. If we knew in advance that the forward price reaches the lower barrier L before it reaches the higher barrier H, then our previous analysis of a down - and-out call implies that the value of the call C(K) can be nullified along the barrier L by initially selling KL1 puts struck at L2K-I. Thus, the replicat - ing portfolio under this assumption would be: Alternatively, if we knew in advance that the forward price reaches the higher barrier H first, then from equation (10) the replicating portfolio would in - stead be: 39quotartial barrier options may be statically hedged using a portfolio of standard and com - pound options. A discussion of this can be obtained from the authors. 39Double barrier calls and puts have been priced analytically in Kunitomo and Ikeda (1992). Because we don39t know in advance which barrier will be hit first, we try combining the two portfolios: The problem with this portfolio is that each written-in call contributes (neg - ative) value at the other39s barrier. For example, if the forward price reaches H first, then the DIC(K, L) KLp1P(L2Kp1) contributes (negative) value along H. Thus, we need to add securities to the portfolio in an effort to zero out value along each barrier. Along the barrier H, the negative influence of the KLpl puts struck at L2Kp1 can be offset by buying LHpl calls struck at H2KLp2. TO cancel the negative influence of the UIC(K, H) along the barrier L, we will need to extend PCS to binary calls. Recall that a binary call (put) is a cash-or-nothing option that pays 1 if the stock price is above (below) a strike price K, and zero otherwise. Simi - larly, a gap call (put) is an asset-or-nothing option that pays the stock price S if it is above (below) a strike price K, and zero otherwise. The following parity relations are easily shown: Since binary options may be synthesized out of standard options, these par - ity relations imply that the same is true for gap options. The Appendix proves the following symmetry result, relating values of binary options to gap options. Given frictionless markets, no arbitrage, zero drift, and deterministic volatility, the following relationships hold: where the geometric mean of the binary call strike K and the binary put strike H is the forward price F: Armed with this result, we can cancel the negative influence of the UIC(K, H) in equation (15) along the barrier L. Thus, our first layer approx - imation for the double knock out call value is: Although equation (17) is a better approximation than equation (15), the added options still contribute value at the other39s barrier. Thus, we need to continue to subtract or add options, noting that each additional layer of hedge at one barrier creates an error at the other barrier. As a result, the replicating portfolio for a double knock-out call can be written as an infinite sum: Note that the options in the infinite sum are all initially out-of-the-money. Furthermore, as n increases, the number of options held and the options39 moneyness both decrease exponentially. As a result, for large n, the options39 contribution to the infinite sum becomes minimal. Thus we can get a good approximation to the option value with a small value of n. Table I1 shows a typical example. With F K 100, barriers at L 95 and H 105, r rf 4 percent, v 20 percent, and T 0.25, five-decimal-place accuracy has occurred by summing the values for n -0, 1, 2. The value for n oo is obtained from the analytic solution by Kunitomo and Ikeda (1992). Figure 4 graphs the value of the second-layer hedge, i. e. n 1in equation (18), for a double knock out call option. Notice that the value along both barriers is very close to zero. In general, bringing in the barriers of a double knock out call reduces both its value and the number of options needed to achieve a given accuracy. B. Roll-Down Calls A double knock out call involves two barriers that straddle the initial spot. In contrast, a roll-down call (RDC)l nvolves two barriers, both below the initial spot and strike. If the nearer barrier is not hit prior to maturity, then a roll-down call has the same terminal payoff as a standard call struck at KO. However, if the nearer barrier H1 is hit prior to maturity, then the strike is rolled down to it, and a new out-barrier becomes active at M2lt N1. For later use, we extend the definition of a RDC as follows. We assume that if the nearer barrier H1is hit, then the strike rolls down to some level Kl EHI, KOgt l-or a discussion of roll-down calls and roll-up puts, see Gastineau (1994) Table I1 Convergence of Replicating Portfolio to Double Knock out Call (02C)Value The values are generated by using the static hedging portfolio for 02C(K, L,H)for increasing values of N. C and P are European calls and puts, respectively K is the strike price L and H are lower and upper barriers, respectively BC is a binary call GP is a gap put is the foreign interest, rate and r is the domestic interest rate (r is the volatility of the underlying asset and T is the time to maturity of the option. The parameters for the option are initial forward price F 100, K 100, barriers at L 95 and H 105, r rf 456, a 0,and T 0.25. The value for N x is given by the analytic solution of Kunitomo and Ikeda (1992). N Value of Replicating Portfolio which need not equal HI. We also assume that if the farther barrier 1 is h it, then the strike rolls down to some level Kz E Hz, K1 artd a new out - barrier becomes active further down at H3 lt Hz This process repeats an arbitrary number of times. Let HI. Hn be a decreasing sequence of39 positive barrier levels set below the initial forward price, F gt HI. Similarly, let KO. Kn be a decreasing sequence of strikes, with Kt 2 Hi, i 1. n. Then at initiation, the ex - tended roll-down call can be decomposed into down-and-out calls as This representation is model-independent. To obtain a standard roll-down call, we set n 1and K1 HI. For any n, the hedge works as follows. if the underlying never hits the barrier HI, then the DOC(Ko, H1) provides the desired payoff (FT - KO), and the knock out calls in the sum cancel each Time (yrs) 95 Forward Price Figure 4. Second layer static hedge for a double knockout call option with barriers at 95 and 105 and strike at 100. other. If the barrier H1 is hit, then the DOC(Ko, HI) vanishes, as does the written DOC(Kl, H1). Thus the position when F HI may be rewritten as This is analogous to our initial position. In between any two barriers Hi and Hitl, the DOC(Ki, Hil) provides the desired payoff if the next barrier is never hit, but the DOCS in the sum roll down the strike to Kil if this bar - rier is hit. When PCS holds at each barrier, the extended roll-down call value at ini - tiation, for F gt HI, is given by The replicating strategy is as follows. At any time, we are always holding a call struck at or above the highest untouched barrier and puts struck at or below this barrier. Thus, if the forward price never reaches this barrier, the call pro - vides the desired payoff at expiry, and the puts expire worthless. Each time the forward price touches a barrier Hi for the first time, we sell the call struck at Kil and buy back Ki. l l puts struck at H sell Kidilcl puts struck at H Krl and buy the call struck at Ki. PCS guarantees that both transitions are self-financing. As previously mentioned, the standard roll-down call is the special case of equation (21) with n 1and K1 HI. Figure 5 illustrates the replication Time (yrs) 95 Price Time (yrs) 95 Price Figure 5. The two part static hedge for a roll-down call (KO 100,Kl HI 95, Hz -90). Panel A shows the replicating portfolio when the price is above the first barrier, 95. Panel B shows the replicating portfolio after the barrier 95 has been hit. The two portfolios are identical along the barrier of 95, and the second is worth zero along the lower barrier 90. Panel (2 is a different perspective of Panel B, showing more clearly value of the portfolio at 95. procedure for a standard roll-down call with initial strike KO 100, rolled - down strike K1 H1 95, and final out-barrier H2 90. Panel A shows the value of the replicating portfolio before the first barrier is hit. IS the forward hits the first barrier HI, then the portfolio is costlessly revised to C(H1)-H1 H HC39). Panel B shows the value of this new portfolio for prices below 95. The revised portfolio has zero value along the knock. out barrier Hz 90 as required. Panel C is just Panel B with a different orien - tation, showing that the value of the two portfolios match along the first barrier H1 95. C. Ratchet Calls A ratchet call is an extended roll-down call, with strikes set at the barri - ers, which never knocks out completely. This is accomplished k)y having the only purpose of the lowest barrier be to ratchet down the strike. This sug - gests that we can create a static hedge for a ratchet call once we account for this difference. To synthesize a ratchet call with initial strike KO, we set the strikes P(, in the ERDC(Ki, Hi) equal to the barriers Hi, i 1. n -1.To deal with the fact that an extended roll-down call knocks out completely if39 the forward reaches H. while the ratchet call rolls down the strike to H. we replace the last spread of down-and-out calls DOC (H. H,, - DOC (H. H,) in equa - tion (19) with a down-and-in call DIC(H,,H,). Thus, a model-independent valuation of a ratchet call, using barrier calls, is Substituting in the model-free results, DOC(K, H) C(K)-DIC(K, H) and DIC(H, H) P(H) simplifies the result to: When PCS holds at each barrier, a ratchet call can be represented in terms of standard options as Hedging with this replicating portfolio is analogous to the extended roll-down call hedge: the position held is changed at every barrier, and the transitions are self-financing. Comparing equation (24) with its counterpart for an ex - tended roll-down call allows us to capture the value of removing an out-barrier at H, l. Setting Ki Hi in equation (21) and comparing with equation (24) im - plies that the value of removing this barrier is given by H. H, zl puts struck at H: D. Lookback Calls A floating strike lookback call (LC) is similar to a ratchet call, except that there is a continuum of rolldown barriers extending from the initial forward price to the origin, so that the strike price is the minimum price over the option39s life. A ratchet call with KO F, H, 0, undervalues a lookback because the active strike is always at or above that of a lookback. Thus, a model-free lower bound for a lookback call is When PCS holds at each barrier, this lower bound can be expressed in terms of standard options: The portfolio of standard options undervalues the lookback because the call held is always struck at or above the lookback. By adding more strikes, we obtain a tighter bound. Since the underlying39s prices are actually discrete, one possibility is to set the barriers at each possible level. To obtain an upper bound on the value of a lookback call, we may use an extended ratchet call, which ratchets the strike down to the next barrier each time a new barrier is crossed. When the last positive barrier is touched, the strike is ratcheted down to zero. Thus, a model-free upper bound in terms of down-and-in bonds is LC 5 C(Hl) - P(H,) C (H, - Hil)DIB(Hi) H, DIB(H,). (27) Intuitively, when each barrier M, is reached for the first time, the down - and-in bonds ratchet down the delivery price of the synthetic forward C(H1) - P(H1) by Hi - Hil dollars. When PCS holds at each barrier, it can be used to represent the down - and-in bonds in terms of standard options. 1.n particular, using an argument analogous to that in the Appendix for an up-and-in bond, a down-and-in bond can be replicated using the following static portfolio of binary and stan - dard puts: DIB(H) 2BP(H) - H-39P(H). Richardson extrapolation may again be used to efficiently represent the binary puts in terms of standard puts.16 We can modify the above bounds for both a forward-start and a backward - start lookback call. Let 0 be the valuation date and let TI be the start date of the lookback period. In the backward-start case (TI lt O), the underlying has some minimum-to-date, m, which is in between two barriers Hi and. Hil for some i. The lower bound is thus a ratchet call with initial strike Hi and barriers Hi where i i 1. n -1. Similarly, the upper bound is an ex - tended ratchet call with initial strike Hil and barriers Hi, i i 1. n -1. Because ratchet calls and extended ratchet calls can be replicated with standard options, we have bounded the lookback call in terms of static portfolios of standard options. l6 Richardson extrapolation may also be used to enhance convergence of the lower and upper bounds of a lookback call by extrapolating down the distance between barriers. A discussion of this can be obtained from the authors. In the forward-start case (TI gt 0), we use the fact that the formula for a backward-start lookback call is linearly homogeneous in the current spot forward price and the minimum to date. At TI, the minimum is STlSO the lookback call value at TI may be written as c(.)ST1, for some function c(.) independent of ST,.Thus, for a forward-start LC, we should initially hold 39units of the underlying. Moving forward through time, the dividends received are reinvested back into the security, bringing the number of units held up to c by time TI. At TI, the c shares can be sold for proceeds just sufficient to initiate the approximating strategy described above. TV. Nonzero Carrying Costs The previous results were derived assuming that the drift of the under - lying was zero (under the martingale measure). This assumption is natural for options on futures, but strained somewhat for options on the spot. In this section, we relax the assumption of zero drift. Although we are no longer able to obtain exact static hedges for options on the spot, we can develop tight bounds on option values using static hedges. Bowie and Carr (1994) give the bounds for single barrier options, so we concentrate on multiple barrier calls. For concreteness, we deal with options on spot foreign exchange (FX), assuming constant interest rates for simplicity. Then, interest rate parity links forward prices (F(t)) and spot prices (S(t)) of FX by where r is the domestic rate and rf is the foreign rate. Thus, when the spot hits a flat barrier H, the forward hits a time-dependent barrier H(t) A. Double Knock out Calls When the drift of the underlying is not zero, a double knock out call on the spot with flat barriers L and His equivalent to a double knock out call on the forward price with time-dependent barriers L(t) with t E 0, TI. We can give flat upper and lower bounds on these time-dependent barriers. If r gt rf17: Double knock out options increase in value as the out-barriers are moved farther apart. Thus for the double knock out call on the forward, ls we can write l7 The details for hedging multiple barrier calls when r lt rf are left as an exercise for the reader. l8 Since interest rates are constant, results for options on forwards also hold for options on futures. Figure 6. Synthesizing a double knockout call with cost of carry. 39Value of the upper (dashed line) and lower (dotted line) bound static hedges for a double knock-out call (K 100, lower barrier 95, and upper barrier 105) compared with the analytical value (solid line). The foreign interest rate (rf) is fixed at 4 percent and the domestic interest rate (r) varies from 1percent to 7 percent. For r lt ry the lower bound is the upper bound and vice versa. Furthermore, by definition, the double knock out on the forward with time - dependent barriers is the same as the double knock out on the spot with flat barriers: Combining equations (29) and (30) allows us to bound the value for a double knock-out call on the spot between the values of two double knock out calls on the forward: As we know how to replicate each of the two bounds with a static portfolio, we have upper and lower bounds on the double knock out call on the spot. Figure 6 indicates how the bounds vary with the interest rate differential. B. Roll-Down Calls Recall that under zero drift and with PCS holding at every barrier, an extended roll-down call (ERDC) was synthesized out of standard call and put options in equation (21). When the drift of the underlying is not zero, an ERDG on the spot with flat strikes Ki, i 0. n and barriers Hi, i 1. n is equivalent to an ERDC on the forward with time-dependent strikes Kit and barriers Hit Hie (quot-39f )(T-t) : We can give flat upper and lower bounds on these time-dependent quanti - ties. If r gt rf, The ERDCf value is decreasing in the level of the strikes and increasing in the level of the barriers. Thus, we can place bounds on ERDCf(Kit, Hit): From Section 1II. B we can create static hedge portfolios for the upper and lower bounds, and the tightness of these bounds for a standard roll-down call (n 1, Kl HI) is shown in Figure 7. C. Ratchet Calls A ratchet call on the spot is a special case of an extended roll-down call on the spot created by setting the strikes Ki equal to the barriers Hi and re - moving the last knock-out barrier. As a result, the bounds for a ratchet call on the spot are determined similarly to an extended roll-down call. The lower bound is a ratchet call that ratchets every time the flat barrier Hi is hit to a strike of Hi. The higher bound is an extended ratchet call on the forward that ratchets every time the barrier Hi is hit to a strike of Hi: D. Loohbach Calls Consider a ratchet call on spot with the initial strike KOset at the initial spot price and the final rung H, set at the origin. As in the case of zero carrying costs, this ratchet call undervalues a lookback due to the discrete - ness of the rungs. As a result, the lower bound for a ratchet call on spot is also a lower bound for a lookback call on spot. Bnupper bound for a lookback call on spot can be obtained from an extended ratchet call on spot, which ratchets the strike to the next lower barrier. However, an extended ratchet call on the spot with flat barriers is equivalent to an extended ratchet call on forward with time-dependent barriers. A lower bound can be obtained from a generalization of equation (27). For each time-dependent barrier, Hit, each Figure 7. Synthesizing a roll-down call with cost of carry. Value of the upper (dashed line) and lower (dotted line) bound static hedges for a roll-down call (KO 100,K1 H1 95, Hz 90) compared with the analytical value (dotted line). The foreign interest rate is fixed at 4 percent and the domestic interest rate varies between 1percent and 7 percent. When the domestic rate is below the foreign rate, the lower bound becomes the upper bound and vice versa. time the forward reaches the flat upper bound Hi, we ratchet the strike to the flat lower bound Hi. The resulting bounds for a lookback call on spot at issuance are: Using this approach, bounds for forward and backward start lookback calls can also be obtained. V. Conclusion The concept of hedging exotic options with a static portfolio of standard instruments simplifies the risk management of exotic options in several ways. First, when compared with dynamically rebalancing with the underlying, the static portfolio is easier to construct initially and to maintain over time. Instead of continuously monitoring the underlying and trading with every significant price change, the hedger can place contingent buy and sell orders with startstop prices at the barriers. Second, when compared with offset - ting the risk using another path-dependent option, the investor uses instru - ments with which he is familiar, the risks are better understood, and the markets are more liquid. A static hedge can exactly replicate the payoffs of the path-dependent op - tion when carrying costs are zero and a pair of static hedges can bracket the payoffs when nonzero carrying costs are introduced. These techniques apply to many path-dependent options, which are related in that their payoffs de - pend on whether one or more barriers are crossed. The fundamental result underpinning the creation of our replicating port - folios is put-call symmetry. By using this simple formula, we can engineer simple portfolios to mimic the values of standard options along barriers. The result is an extension of put-call parity to different strike prices which pro - vides further insight into the relation between put and call options. The main extension to this line of research would involve relaxation of the zero drift and symmetry conditions. Just as bounds are developed when drift is nonzero, perhaps tight bounds can be developed when volatility structures display asymmetry with sufficient stationarity. In the interests of brevity, this extension is left for future research. Let F(t) be the forward price at t E O, TI of the underlying for delivery in T years. Let a(F(t),t) be the local volatility rate of the forward price as a function of the forward price F(t) and time t. Under the martingale mea - sure, lquothe forward price process is Let B(0) be the price at time 0 of a bond paying one dollar in T years and let C(O, K,T) and P(O, K,T) be the initial value of an European call and put struck at K and maturing in T years. Let G,(K, T) B(0)-39C(O, K,T) and G,(K, T) B(0)-39P(O, K,T) be the respective forward values quoted at 0 of these options for delivery in T years. We now show that both forward values satisfy the following forward partial differential equation (pde): We use a pure discount bond maturing at T as the numeraire In contrast to Black (1976) backward pde, this pde indicates how (forward) option values change with the strike and maturity, holding the initial time and underlying forward price fixed. The above result and its proof below are essentially due to Dupire (1994). To prove the forward pde for a call, we begin with the standard result that the forward price of a call is given by its expected payoff under the equiva - lent martingale measure: where p (F(T),T F(O),O) is the transition density of the forward price, indi - cating the probability density of the forward price being at F(T) at time T, given that it is at F(0) at time 0. The Kolmogorov forward equation govern - ing this density is Differentiating (A3) twice with respect to IS gives Substituting into the Kolmogorov equation gives Integrating twice with respect to K gives the desired result. The same proof applies to European puts. It is easily verified that Black (1976) formulas for calls and puts satisfy the above equation with u2(K, T) (o-2. The forward call value G,(K, T) is the unique solution of equation (A2) subject to the following boundary conditions: (a) G,(K, O) maxF(O) - K, O, K gt 0 (b) lim G,(K, T) 0,T gt 0 Similarly, the forward put value G,(K, T) is the unique solution of equation (A2) subject to the following boundary conditions: (a) G,(K, O) maxK - F(O),O, K gt 0 (b) lim G, (K, T) - K, T gt 0 Let u,(x, T) G,(K, T)(KF(0))4392 and u,(x, T) G,(K, T)(KF(0))P1392 be normalized call and put forward values, respectively, written as functions of x ln(KF(O)) and maturity T. Then, the normalized values both solve the following pde: where v (x, T) a(F(0)ex, T)is the volatility expressed as a function of x and T. The normalized forward call value u,(x, T) is the unique solution of equa - tion (A7) subject to the following boundary conditions: (a) u,(x, O) maxe-quotI2 - ex392,0, x E It (b) limu,(x, T) 0, T gt 0 (c) lim u, (x, T) ePquotquot, T gt 0. Similarly, the normalized forward put value u,(x, t)is the unique solution of equation (A7) subject to the following boundary conditions: - ePx2,0,x E iYi (b) lim up (x, T) - exquot, T gt 0 (c) lim u,(x, T) 0, Tgt 0. Our symmetry condition is that v2(x, T) u2(-x, T) for all x E I and for all T gt 0. Given this condition, it is easy to see that u,(x, T) and up(-x, T) satisfy the same boundary value problems and are therefore equal: u,(x, T) up(-x, T), forallx E MandforallTgt 0 Reverting to forward prices gives where (K, K,)1392 F(0). Multiplying both sides by F(O) gives the de - sired result: Binary Put-Call Symmetry Assuming that volatility is a function of time alone, the payoff and values for binary calls and puts, and gap calls and puts with time T until maturity, and strike H can be written as: Payoff at time T Value at time 0 BC l(F(T) gt H) BC B(0)N(d2) GCF(T)l(F(T)gtH) GCB(0)F(O)N(dl) BP l(F(T) lt H) BP B(O)N(-d2) GP F(T)l(F(T)lt H) GP B(O)F(O)N(-dl), where is the standard normal distribution function, It may be verified by direct substitution that: where the geometric mean of the bianry (gap) call strike K and the gap (binary) put strike H is the forward price E39: (KH)l12 F. We can rewrite an up-and-in bond as a combination of an u. p-and-in binary call and an up-and-in binary put: However, an UIBC(H) is the same as a standard BC(H), as it has to knock in to have positive value. We can expand the UIBP(H) into its components: UIB(H) BC(H) lim nUIP(H, H) - UIP(H - n-l, We can apply PCS: The approximation error is 8(nP2).The final term can now be rewritten as a binary call and so REFERENCES Bates, David, 1988, The crash premium: Option pricing under asymmetric processes, with ap - plications to options on Deutschemark futures, Working paper, University of Pennsylvania. Bates, David, 1991, The crash of 87: Was it expected The evidence from options markets, Journal of Finance 46, 1009-1044. Black, Fischer, 1976, The pricing of commodity contracts, Journal of Financial Economics 3, 167-179. Black, Fischer, and Myron Scholes, 1973, The pricing of options and corporate liabilities, The Journal of Political Economy 81, 637-659. Bowie, Jonathon, and Peter Carr, 1994, Static simplicity, Risk 7, 45-49. Chriss, Neil, 1996. Black-Scholes and Beyond: Modern Option Pricing (Irwin Professional Pub - lishing, Burr Ridge, IL). Chriss, Neil, and Michael Ong, 1995, Digitals diffused, Risk 8, 56-59. Derman, Emanuel, Deniz Ergener, and Iraj Kani, 1994, Forever hedged, Risk 7, 139-145. Dupire, Bruno, 1994, Pricing with a smile, Risk 7, 18-20. Gastineau, Gary, 1994,Roll-up puts, roll-down calls, and contingent premium options, The Jour - nal of Derivatives 1, 40-43. Geske, Robert, and Herbert Johnson, 1984, The American put option valued analytically, Journal of Finance 39, 1511-1524. Kunitomo, Naoto, and Masayuki Ikeda, 1992, Pricing options with curved boundaries, Mathematical Finance, 275-298. Marchuk, Gurii, and Vladimir Shaidurov, 1983, Difference Methods and Their Extrapolations (Springer Verlag, NY). Merton, Robert, 1973, Theory of rational option pricing, Bell Journal of Economics and Man - agement Science 4, 141-183.What is hedging as it relates to forex trading When a currency trader enters into a trade with the intent of protecting an existing or anticipated position from an unwanted move in the foreign currency exchange rates. voidaan sanoa, että ne ovat tehneet valuuttasuojauksen. Hyödyntämällä forex-suojausta oikein, elinkeinonharjoittaja, joka on pitkä valuuttapari. voivat suojata itsensä negatiivisilta riskeiltä, ​​kun taas kauppias, joka on lyhyt valuuttapari, voi suojata riskiä vastaan. Valuuttakauppojen suojaamisen ensisijaiset keinot vähittäiskaupankorjalle ovat seuraavat: Spot-sopimukset ovat pääasiassa tavanomainen kaupankäynti, jota vähittäiskaupan valuuttakauppias tekee. Koska spot-sopimuksilla on hyvin lyhytaikainen toimituspäivä (kaksi päivää), ne eivät ole tehokkain valuuttasuojausajoneuvo. Säännölliset spot-sopimukset ovat yleensä syy siihen, että suojausta tarvitaan, eikä itse suojausta. Valuuttamääräiset optiot ovat kuitenkin yksi suosituimmista valuuttakurssimenetelmistä. Muiden arvopapereiden optioilla valuuttamääräinen vaihtoehto antaa ostajalle oikeuden mutta ei velvollisuutta ostaa tai myydä valuuttaparia tietyssä valuuttakurssissa jossakin vaiheessa tulevaisuudessa. Säännöllisiä vaihtoehtoja koskevia strategioita voidaan käyttää, kuten pitkät perinteet. pitkät kuristukset ja sonni tai karhu leviää. rajoittaa tietyn kaupan tappionpotentiaalia. Forex-suojausstrategia Forex-suojausstrategia kehitetään neljällä osalla, mukaan lukien valuuttakurssien riskialttius, riskinsietokyky ja strategian etusija. Nämä komponentit muodostavat forex-suojauksen: Analysoi riski: Kauppiaan on tunnistettava, millaisia ​​riskejä hänellä on nykyisessä tai ehdotetussa asemassa. Sieltä elinkeinonharjoittajan on tunnistettava, millaisia ​​vaikutuksia tämä riski voi olla suojaamattomana, ja määrittää, onko riski korkea tai alhainen nykyisessä valuuttakurssimarkkinoilla. Riskinsietokyvyn määrittäminen: Tässä vaiheessa elinkeinonharjoittaja käyttää omia riskinsietotasojaan sen määrittämiseksi, kuinka paljon positioiden riskiä on suojattava. Kaupalla ei ole koskaan nollariskiä elinkeinonharjoittajan tehtävänä on määrittää riskitaso, jonka he ovat valmiita ottamaan ja kuinka paljon he ovat valmiita maksamaan ylimääräisten riskien poistamiseksi. Määritä valuuttasuojausstrategia: Jos valuuttamääräisiä valuuttamuotoja käytetään suojaamaan valuuttakaupan riskiä, ​​elinkeinonharjoittajan on määriteltävä, mikä strategia on kustannustehokkain. Strategian toteuttaminen ja seuraaminen: Varmistamalla, että strategia toimii niin kuin pitäisi, riski pysyy minimoituna. Valuutanvaihdosmarkkinat ovat riskialtis ja suojaus on vain yksi tapa, jolla elinkeinonharjoittaja voi auttaa minimoimaan riskinsa. Niin paljon kauppias on rahaa ja riskienhallintaa. että sinulla on toinen työkalu, kuten suojaaminen arsenalissa, on uskomattoman hyödyllinen. Kaikki vähittäiskaupan välittäjät eivät voi suojata niiden alustoja. Muista tutkia täysin välittäjä, jota käytät ennen kaupankäynnin aloittamista. Lisätietoja on käytännöllisissä ja edullisissa suojausstrategioissa. Article 50 is a clause in the EU treaty that outlines the steps a member country must take to leave the European Union. Britain. Beeta mittaa arvopaperin tai salkun volatiliteettia tai järjestelmällistä riskiä verrattuna markkinoihin kokonaisuutena. Verotyyppi, joka kannetaan yksityishenkilöille ja yhteisöille aiheutuneista myyntivoitoista. Myyntivoitot ovat sijoittajan voittoja. Tilaus ostaa tietyn hinnan tietyllä hinnalla tai sen alapuolella. Ostarajoitusten tilaus antaa kauppiaille ja sijoittajille mahdollisuuden täsmentää. Sisäinen tulovirasto (IRS) - sääntö, joka mahdollistaa rangaistuksettomat nostot IRA-tililtä. Sääntö vaatii sen.